Con kiến mà leo cành đa...

Ascending and Descending
M.C. Escher 1960

Con kiến mà leo cành đa,
Leo phải cành cụt leo ra leo vào,
Con kiến mà leo cành đào,
Leo phải cành cụt leo vào leo ra...

Hôm qua không biết lang thang thế nào mà lại chui vào nhà của bác Nguyễn Trọng Tạo, người đã viết tặng cô thôn nữ hái sen của XDTV câu:  "Mây ghé làng anh mây mặc yếm nâu... ".
Thấy có cái hình vẽ Mobius strip nổi tiếng của Escher[*] tò mò đọc thì mới biết cái hình đó chỉ là để câu khách. Ờ mà cũng hợp lý, vì quyển GEB cũng xuất bản theo khổ để bàn, coffee table, to uỵch. Vì thế quyển này thường được dùng để bày ngoài phòng khách, nơi uống trà, cà-phê trong nhà các trọc phú về tri thức,  tạm gọi là "trưởng giả trí tuệ" - có thể họ cũng đồng thời là triệu phú về tiền bạc tài sản - để phô trương tầm văn hóa của mình[**].

Tất nhiên, vì không có ý định mượn gió bẻ măng, bàn chuyện chính trị chính em, nên mình hoàn toàn lờ đi một sự thật là cái Mobius strip tạo thành hình chữ S, trông cũng na ná như hình một nước nào đó ở cái xứ Đông nam Á xa xôi mà rất đỗi gần gũi với mình.

Bài toán mà GS. Vũ Hà Văn nêu lên là thế này:
Có 10 con kiến trên một que 1 mét. Từng con kiến bắt đầu bò sang trái hoặc phải tùy hỉ, dọc theo que, với tốc độ 1 mét/giờ. Khi hai con kiến đụng đầu nhau chúng sẽ đổi hướng. Khi một con bò đến đầu que thì nó rới xuống đất. 
Hỏi: khi nào thì tất cả kiến rơi xuống đất? 

GS Ngô Bảo Châu đưa ra một lời giải cho GS Vũ Hà Văn như sau:
Bác Văn cấp cho mỗi con kiến một cái mũ đánh số từ 1 đến mười. Khi hai con kiến đụng độ nhau, thay vì đổi hướng, hai con kiến sẽ đổi mũ cho nhau. Trong bài toán mới này, hiển nhiên sau một giờ, cả mười con Kiến đều rơi vào mồm bác Văn đã há sẵn. Nếu có đo đạc trước, bác Văn còn có thể há mồm đúng lúc chúng rụng, khỏi bị bệnh há miệng mắc quai. Bài toán này dễ hơn bài cũ vì kiến chỉ đổi mũ, không đổi hướng.
...
Bác Văn thì không quan tâm lắm đến hoán vị, miễn là cả đàn kiến chui vào mồm là được.  

Ai quan tâm có thể đọc kỹ hơn ở đây. 

Lời giải đưa ra một cách giải thích rất hay là để cho các con kiến đổi mũ cho nhau mỗi khi cụng đầu, thay vì việc quay đầu đi ngược lại.

Kết luận của GS NBC về việc GS VHV có thể há miệng chờ xơi gọn tất cả các con kiến thì không hoàn toàn đúng nếu cái que nằm ngang, và sẽ chỉ đúng nếu một trong hai điều sau đây là đúng:
1./ Cái mồm của GS VHV có thể chuyển động với tốc độ ánh sáng, nhanh gấp tỷ lần tốc độ rơi tự do của các vật thể, dưới ảnh hưởng của từ trường trái đất, mà cụ thể ở đây là các chú kiến. Nếu vậy, có thể giả sử rằng khoảng cách 1m giữa hai đầu của cái que không có nghĩa lý gì!
2./ Cái mồm của GS VHV có đường kính ít nhất là 1m.
Vì tôi đã có dịp diện kiến GS Văn*** cho nên tôi biết mặc dù tài giỏi lẫy lừng nhưng anh cũng chỉ là người trần tục như chúng ta mà thôi. Không biết phép cân đẩu vân của Tôn Ngộ Không và mồm miệng thì cũng to vừa phải. Cho nên thế nào cũng có một vài chú kiến thoát, không bị GS Văn xơi tái.

Để tính số lần đụng đầu nhau tối đa của các chú kiến GS NBC bổ sung thêm:
...ta chỉ cần xác định hoán vị đổi mũ... là  trong trường hợp có n con kiến. Nhưng trong bài toán này, vì có một số kiến đi sang phải, một số đi sang trái, trong mỗi nhóm không chuyển vị với nhau, nên số lần đụng độ tối đa sẽ là  nếu số kiến n là chẵn, và  nếu n lẻ.


Tất nhiên,  một lần nữa tôi lại làm ngơ, mũ ni che tai, lờ đi không bình luận gì về cái ngụ ý, hàm ý hết sức tinh tế tàng ẩn trong cái ý "cụng đầu thì đổi mũ" hay "đi sang phải, đi sang trái" của GS NBC ;)

Như thường lệ, để thay lời kết luận, sau đây xin mời bà con, nhất là những ai đang chăm cháu nội, cháu ngoại, hoặc chăm con, nghe một bài hát thiếu nhi rất đỗi quen thuộc, bài "Con kiến leo cành đa".

Còn những ai chưa có cháu nội, cháu ngoại để chăm, hoặc vẫn còn bận bịu chăm lo cho chính bản thân mình thì xin mời nghe "Aria sur la ligne G" của Johann Sebastian Bach (tranh minh hoạ của Vincent Van Gogh).

2013.08.27

Chú thích:

[*] Lại nhớ nhà mình trên giá sách hồi trước bày quyến "Goedel, Escher, Bach" (GEB) của Hofstadter mà bây giờ đi  tìm thì  không biết nó ở đâu nữa!
[**] Trêu chọc, đâm bị thóc, chọc bị gạo một chút thôi. Kiểu khoe ngầm một cách kín đáo như thế còn tế nhị hơn chuyện khoe một cách lộ liễu trắng trợn là nhà mình cũng có GEB bày trên giá sách!
[***] Cũng đã từng học lớp i Chu Văn An!